수학 역사상 세 번째 위기는 1897년의 갑작스러운 충격으로 인해 발생했다. 현재까지 전체적인 관점에서 볼 때 만족스러운 수준으로 해결되지 않았다. 이러한 위기는 칸토어의 일반 집합론의 변두리에서 역설이 발견되면서 발생했습니다. 집합의 개념이 수학의 수많은 분야에 침투했고 실제로 집합론이 수학의 기초가 되었기 때문에 집합론의 역설이 발견되면 자연스럽게 수학의 기본 구조 전체의 타당성에 대한 의문이 제기됩니다.
1897년에 Forty는 집합론의 첫 번째 역설을 밝혀냈습니다. 2년 후 칸토어는 매우 유사한 역설을 발견했습니다. 1902년에 러셀은 집합 자체의 개념 외에는 다른 개념과 관련이 없는 또 다른 역설을 발견했습니다. 러셀의 역설은 다양한 형태로 대중화되었습니다. 그중 가장 유명한 것은 1919년에 러셀이 한 것으로, 어느 마을에 사는 한 이발사의 곤경에 관한 것입니다. 이발사는 규칙을 선언했습니다. 그는 스스로 면도하지 않은 모든 사람과 마을에 있는 그런 사람들의 얼굴을 면도할 것입니다. 이 상황의 역설적 성격은 다음 질문에 답할 때 인식됩니다: "이발사가 스스로 면도합니까?" 만약 그가 스스로 면도를 하지 않는다면, 그가 자신의 얼굴을 면도한다면, 그는 원칙적으로 스스로 면도해야 합니다. 그렇다면 그는 그의 원칙에 부합하지 않습니다.
러셀의 역설은 수학 체계 전체를 뒤흔들었습니다. 러셀의 편지를 받은 후 프레게가 자신이 방금 출판한 "산술의 기본 법칙" 제2권 말미에 다음과 같이 쓴 것도 놀라운 일이 아닙니다. 완성되어 기초가 무너졌고 책이 인쇄되기를 기다리는 동안 러셀 씨의 편지가 나를 이 위치에 놓았습니다." 이로써 약 12년간의 노력이 끝났습니다.
무한 집합과 무한 기수를 인식하는 것은 마치 모든 재앙이 눈앞에 다가온 것과 같습니다. 이것이 세 번째 수학 위기의 본질입니다. 역설은 제거되고 모순은 해결될 수 있지만, 수학적 확실성은 단계적으로 상실되고 있습니다. 현대 공리 집합론에는 많은 공리가 있는데, 어느 것이 참이고 어느 것이 거짓인지 말하기는 어렵습니다. 그러나 그것들을 모두 제거할 수는 없습니다. 따라서 제3의 위기는 표면적으로 해결되었지만 실제로는 보다 심오한 방식으로 다른 형태로 계속되고 있다.
4번째는 중국일지도 모른다는 생각이 든다. 한때 중국의 수학 마니아 리밍보가 4차 수학 위기를 발견했다고 주장했지만 센세이셔널한 평가를 받았던 적이 있기 때문이다.