1545년 당시 유럽인들은 음수와 무리수를 완전히 이해하지 못했지만 그들의 지능은 새로운 '괴물'이라는 도전에 직면했다. 예를 들어, Cardin은 그의 저서 "The Art of Significance"(1545)에서 다음과 같은 질문을 했습니다. 10을 두 부분으로 나누어 곱이 40이 되도록 합니다. 이를 위해서는 x(10-x)=40이라는 방정식을 풀어야 했다. 그가 찾아낸 근은 5-√-15와 5√-15였고, 이어 "아무리 양심의 가책을 느껴도 된다"고 5를 넣었다. √-15와 5- √-15를 곱하면 25-(-15)=40이 됩니다. 그래서 그는 "산술은 이렇게 훌륭하게 작동한다. 그 목적은 세련되면서도 쓸모없다"고 말했다. 데카르트(1596~1650)도 복소수를 버리고 '허수'라는 이름을 만들었다. 복수수에 대한 모호한 이해와 관련하여 라이프니츠(1646-1716)가 가장 대표적입니다. - 존재는 우리가 -1의 허수 제곱근이라고 부르는 것입니다.”
18세기가 되어서야 수학자들은 복소수에 대해 어느 정도 확신을 갖게 되었습니다. 수학적 추론의 중간 단계에서 복소수가 사용되는 곳마다 결과가 올바른 것으로 입증됩니다. 특히 1799년에 가우스(1777-1855)의 "대수학의 기본 정리" 증명은 복소수의 인식에 의존해야 했으며, 이는 복소수의 지위를 더욱 공고히 했습니다. 물론 그렇다고 해서 '복수'에 대한 사람들의 고민이 완전히 사라진 것은 아니다. 1831년에도 De Morgan(1806-1871)은 그의 저서 "수학의 조사와 어려움"에서 다음과 같이 믿었습니다.
"... 기호는 의미가 없거나 심지어 자기 자신을 의미하지 않는다는 것이 입증되었습니다. 그러나 이러한 표기법을 통해 대수학의 매우 유용한 부분이 확립되는데, 이는 경험을 통해 테스트해야 하는 사실, 즉 이러한 공식(복수)이 적용될 수 있다는 것입니다. .”
우리는 18세기가 수학사에서 '영웅적인 세기'였다는 것을 알고 있다. 사람들의 열광은 미적분학의 힘을 이용해 수학의 영역을 확장하는 것이었다. 누구도 걱정하지 않을 것이다. 실수 체계와 복소수 체계의 논리적 기초. 복소수는 최소한 산술적으로는 직관적으로 신뢰할 수 있는데 굳이 문제를 제기할 이유가 무엇입니까?
1797년 노르웨이의 C. Wessel(1745-1818)은 "방향의 분석적 표현에 관하여"라는 논문을 썼는데, 불행하게도 이 기사는 복소수를 표현하기 위해 벡터를 사용하려고 시도했습니다. 이 책은 1897년 프랑스어로 번역되기 전까지는 심각하게 받아들여지지 않았습니다. 스위스의 J. Argand(1768-1822)는 복소수에 대해 약간 다른 기하학적 해석을 제시했습니다. 그는 음수는 방향과 크기를 결합하여 파생되는 양수를 확장한 것임을 알아차렸습니다. 그의 아이디어는 다음과 같습니다. 실수 시스템을 확장하기 위해 새로운 개념을 사용할 수 있습니까? 가우스의 작업은 사람들이 복소수를 받아들이도록 하는 데 더 효과적이었습니다. 그는 복소평면 위의 점(a,b)으로 bi를 표현했을 뿐만 아니라, 복소수의 기하학적 덧셈과 곱셈에 대해서도 자세히 설명했다. 그는 또한 1, -1이 원래 양수, 음수, 허수 단위가 아닌 직접 단위, 반대 단위, 측면 단위로 불렸다면 사람들은 이 숫자에 대해 어둡고 신비한 인상을 받지 못할 수도 있다고 말했습니다. 그는 기하학적 표현이 사람들에게 허수에 대한 진정으로 새로운 관점을 제공할 수 있다고 말했고, 허수와 반대되는 용어인 "복소수"를 도입하여 i로 대체했습니다.
아일랜드의 수학자 해밀턴(1805~1865)은 복소수의 개념을 명확히 하는 데 매우 중요한 사람이었습니다. 해밀턴은 산술 논리에 관심이 있었고 기하학적 직관에는 만족하지 않았습니다. 그는 다음과 같이 지적했습니다: 복수형 a bi는 2 3이라는 의미에서 실제 합이 아닙니다. 더하기 기호의 사용은 역사적 우연이며 bi는 a에 추가될 수 없습니다.
복소수 abi는 실수(a, b)의 순서쌍에 불과하며, 이 순서쌍에 대한 4개의 산술연산이 동시에 주어지며, 이들 연산은 결합법칙, 환율, 분배율을 만족합니다. 이 관점에서는 복소수가 논리적으로 실수에 기초할 뿐만 아니라 지금까지 다소 신비한 -1의 제곱근이 완전히 제거되었습니다.