소수의 수
이 주장에 대해 알려진 가장 오래된 테스트 방법은 Euclid가 그의 Elements of Geometry에서 제안했습니다. 그의 테스트 방법은 다음과 같이 간단히 요약할 수 있습니다.
제한된 수의 소수를 취합니다. 독립 변수를 만들고 싶기 때문에 이 소수를 모두 곱한 다음 1을 더합니다. 얻은 수는 어떤 소수로 나누어지더라도 나머지는 항상 1이기 때문에 어떤 소수로도 나누어지지 않습니다. 따라서 이 숫자는 소수 그 자체이거나 이 유한 집합에 없는 제수가 있습니다. 그러므로 우리가 시작하는 집합에는 모든 소수가 포함되어 있지 않습니다.
다른 수학자들도 자신의 증명을 제시했습니다. 오일러는 모든 소수의 역수의 합이 무한대로 발산함을 증명했습니다. Ernst Kummer의 증명은 특히 간결했으며 Furstenberg는 일반 위상수학을 사용하여 이를 증명했습니다.
소수 전체는 무한하지만, 여전히 “10만 이하의 소수는 몇 개나 있을까?”, “무작위로 100자리 숫자가 소수가 될 확률은 얼마나 될까?”라고 묻는 사람들도 있다. 소수 정리가 이 질문에 답합니다.
[편집] 소수 찾기
에라토스테네스의 체는 주어진 한계 내에서 소수의 배열을 찾는 좋은 방법입니다. 그러나 실제로는 소수의 순열을 생성하기보다는 주어진 숫자가 소수인지 여부를 알고 싶어하는 경우가 많습니다. 또한, 답이 만족스러울 가능성이 매우 높다는 것을 알면 소수 테스트를 통해 주어진 숫자(예를 들어 수천 자리 길이)가 소수인지 여부를 빠르게 확인할 수 있습니다. 일반적인 접근 방식은 무작위로 숫자를 선택한 다음 해당 숫자와 가능한 소수 N 주변의 일부 방정식을 확인하는 것입니다. 이 과정을 몇 번 반복한 후 숫자가 분명히 합성수이거나 소수일 수 있음을 선언합니다. 이 방법은 불완전합니다. Fermat의 테스트와 같은 일부 테스트의 경우 얼마나 많은 난수를 선택했는지에 관계없이 일부 합성수를 가능한 소수로 판단할 수 있으며 이는 또 다른 유형의 숫자인 의사 소수로 이어집니다. 예를 들어, Miller-Rabin 테스트와 마찬가지로 방정식을 테스트하기 위해 충분한 수를 선택하더라도 테스트된 소수 속성이 정확하다는 것을 보장할 수 있습니다. 그러나 보장 임계값의 수가 너무 많아 시험에 필요한 것보다 훨씬 더 큽니다. 많은데, 제한된 시간 내에 실행해 보면 답이 맞을 확률이 매우 높다는 것만 알 수 있을 뿐 정답이 될 것이라는 보장은 없습니다.
현재 알려진 가장 큰 소수는 232582657?1(이 숫자의 길이는 9,808,358)입니다. 2006년 9월 4일에 GIMPS가 발견했습니다. 이 조직은 또한 2005년 12월 15일에 지금까지 알려진 두 번째로 큰 소수인 230402457?1(이 숫자의 길이는 9,152,052)을 발견했습니다.
수학자들은 소수를 생성하는 공식을 찾기 위해 열심히 노력해 왔지만 아직까지 모든 소수를 정확하게 생성할 수 있는 기본 함수나 다항식은 없습니다. 역사상 실험의 예는 많이 있습니다. 17세기 초 그의 작품 중 하나에서 프랑스 수학자 메르센은 현재 우리가 메르센 소수라고 부르는 소수인 Mp=2p - 1에 대해 논의했습니다. p는 소수이므로 n = 2p - 1은 소수가 됩니다. 이는 p = 3, p = 5, p = 7일 때 맞지만, p = 11일 때}-는 소수가 아닙니다.